量子力学势阱与 $\pi^2$ 公式的推导

Anna Lipniacka; Bertrand Martin Dit Latour

量子力学势阱与 $\pi^2$ 公式的推导

数学物理 2017-10-11 v1 math.MP

作者: Anna Lipniacka , Bertrand Martin Dit Latour

摘要

束缚在无限一维方势阱中的量子粒子是量子力学 (QM) 中大多数教科书入门的问题之一。在那里，计算任意波函数的允许能谱通常涉及黎曼 zeta 函数，从而产生一个 $\pi$ 级数。在本工作中，我们在计算局限于这种势阱中的粒子的动量测量可能结果谱时，推导出了两个“ $\pi$ 公式”：级数 $\frac{\pi^2}{8} = \sum_{k=1}^{k=\infty} \frac{1}{(2k-1)^2}$ ，以及积分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{sin^2 x}{x^2} dx =\pi$ 。动量算符的谱似乎仅在量子数为偶数的态上于经典允许的动量值处达到峰值。本文的灵感来源于 \cite{wallys} 中另一个 $\pi$ 公式的量子力学推导。

关键词

量子力学无限方势阱动量测量黎曼 zeta 函数 pi 公式

引用

@article{arxiv.1710.03313,
  title  = {A quantum mechanical well and a derivation of a $\pi^2 $ formula},
  author = {Anna Lipniacka and Bertrand Martin Dit Latour},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1710.03313},
  year   = {2017}
}

备注

7 pages, 1 figure

量子力学势阱与 $\pi^2$ 公式的推导

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