算术过滤器效力的概率分析

作为传统几何算法基础的实数算术假设近年来受到严重挑战，因为数字计算机不具备此类能力。几何谓词通常由求某个代数表达式的符号组成。在大多数情况下，舍入计算产生可靠结果，但有时舍入算术引入的错误可能使算法失效。仅当代数表达式的精确绝对值小于某个（小的）varepsilon（它表示表达式求值中可能出现的最大误差）时，舍入算术才会产生不正确结果。阈值 varepsilon 取决于表达式的结构以及所采用的计算机算术，假设输入操作数无误差。一对（算术引擎，阈值）是一个“算术过滤器”。本文中我们开发了一种评估算术过滤器效能的通用技术。该分析包括评估过滤器的阈值和失效概率。为示例该方法，在输入点以均匀密度随机选取于单位球或单位立方中的假设下，我们分析了两个重要谓词“哪一侧”和“内球”。我们证明了相应行列式的绝对值不大于某个正值 V（着重于小的 V）的概率，对于哪一侧谓词为 Theta(V)，而对于内球谓词，在维度 1 为 Theta(V^(2/3))，在维度 2 为 O(sqrt(V))，在更高维度为 O(sqrt(V) ln(1/V))。常数很小，并在文中给出。