将常规 ODE 的计算难度与逻辑难度联系起来：从多项式到不连续右侧

当计算机代数系统无法求解常规微分方程时，这是实现限制，还是真正的计算障碍？三大传统为这一问题提供了答案。现代计算机代数算法可以非常高效：Newton 型方法可在准线性时间内求解 $\mathbb{Q}[[X]]$ 上的多项式 ODE。类比计算模型表明，多项式 ODE 与图灵机是同一现象的两种表述方式，其中解的长度充当时间，精度充当空间。可计算分析显示，ODE 本身可能具有内在难度——即使在紧凑域上都是不可判定的，甚至是 $\mathsf{PSPACE}$-complete。将这些传统进行比较是自然且必要的，然而常常仅仅局限于编码的比较，而非算法内容的直接比较。我们认为逆数学提供了一个表示无关的视角，直接比较算法内容。我们证明，Big Five 层级中的每个层级都由经典 ODE 理论中的一个自然命题所占据，作为精确等价：函数 $f$ 的正则性是初始值问题 $y'(t)=f(t,y(t))$, $y(t_0)=y_0$ 所处的计算层级的内在算法不变量，层级范围从多项式时间可解到超有限计算。所得分层作为一种实用诊断工具，适用于这三个传统。通过抽象化表示，它将根本障碍与符号求解器的技术缺陷、类比编码的副产品，以及可计算分析的可行性约束相分离，确定在何种参数下（长度界限、收敛半径、连续性模）可恢复可行性。