GGR 猜想的一个新证明

对每个正整数 $n$、函数 $f$ 和点 $x$，Ghinchev、Guerragio 与 Rocca 在 1998 年提出的猜想指出：$n$ 阶 Peano 导数 $f_{(n)}(x)$ 的存在性等价于所有 $n(n+1)/2$ 个广义 Riemann 导数的存在性，$$D_{k,-j}f(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac 1{h^{k}}\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}f(x+(k-i-j)h),$$ 其中 $j,k$ 满足 $0\leq j<k\leq n$。其针对 $n\geq 2$ 的一个版本将所有 $-j$ 替换为 $j$ 并消去所有 $j=k-1$ 的情形。GGR 猜想及其版本最近由作者利用基于高度非平凡组合算法的非归纳证明证得。本文基于向（Laurent）多项式的归约，为这些定理各给出一个简单的、归纳的、代数性的证明。