一个新的 p 进 Maass-Shimura 算子与超奇异 Rankin-Selberg p 进 L 函数

我们给出了一个定义在模曲线 Y 的预完美oid p 进泛覆盖 $\mathcal{Y}$ 的仿射子域上的新 p 进 Maass-Shimura 算子的构造。我们定义了 p 进模形式的新概念，作为某个“近刚性函数”层 $\mathcal{O}_{\Delta}$ 的截面，这些函数在 Galois 群 $\mathrm{Gal}(\mathcal{Y}/Y)$ 的子群作用下按 $\mathcal{O}_{\Delta}^{\times}$ 值的权字符变换。这推广了 Katz 将 p 进模形式视为 Igusa 塔 $Y^{\mathrm{Ig}}$ 上函数的观念；事实上，我们可以通过限制到 $Y^{\mathrm{Ig}}$ 的自然 $\mathbb{Z}_p^{\times}$ 覆盖 $\mathcal{Y}^{\mathrm{Ig}}$，并将 $\mathcal{Y}^{\mathrm{Ig}} \subset \mathcal{Y}$ 视为子轨迹，来恢复 Katz 的理论。我们的 p 进 Maass-Shimura 算子将权 k 的 p 进模形式映为权 k+2 的形式。其构造源于系数在 $\mathcal{O}_{\Delta}$ 中的相对 Hodge 分解，该分解利用由 Scholze 的 Hodge-Tate 周期映射和相对 p 进 de Rham 比较定理给出的 Hodge-Tate 与 Hodge-de Rham 周期定义。通过研究 p 进 Maass-Shimura 算子幂对模形式的作用，我们构造了一个 p 进连续函数，它对虚二次域 $K/\mathbb{Q}$ 上 $GL_2 \times GL_1$ 的反环族的中心临界 L 值的代数部分（包括 p 在 K 中不分拆的“超奇异”情形）满足“近似”插值性质。最后我们建立了一个新的 p 进 Waldspurger 公式，在新形式情形下将 Heegner 点的形式对数与该 p 进 L 函数的特殊值联系起来。