19 维接触数的最新下界

我们证明了 19 维接触数的下界为 11948，超过了 Cohn 和 Li 的上界 256。通过 Cohn 和 Li 的奇数符号构造方法，只需在长度为 19 且最小距离为 5 的二进制码中找到一个大小为 1280 的码即可。该构造围绕一个线性码链 $M\le K\le D$ 进行组织，其中 $|M|=64$，$|K/M|=16$，且 $|D/K|=4$。D 中重量为 3 或 4 的 21 个单词恰好位于 K 中 5 个非零 M 余矢中。这 5 个余矢在 $K/M\cong\mathbb F_2^4$ 上定义了一个以连接集 $\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_1+e_2+e_3+e_4\}$ 为 Cayley 图，其为克莱布斯图。该商中的 5 个独立集的提升首先产生 K 中的 320 单词码，然后通过取 K 在 D 中的所有四个余矢，得到所需的 1280 单词码。