稀疏多项式余因式的新界

我们证明，对于满足 $f = gh$ 且 $f(0) \neq 0$ 的多项式 $f, g, h \in \mathbb{Z}[x]$，余因式 $h$ 的 $\ell_2$ 范数满足 \|h\|_2 \leq \|f\|_1 \cdot\left( \widetilde{O}\left(\|g\|_0^3 \frac{\text{deg }{(f)}^2}{\sqrt{\text{deg }{(g)}}\right)\right)^{\|g\|_0 - 1}，其中 $\|g\|_0$ 为 $g$ 的非零系数个数（其稀疏度）。我们也获得了关于 $\mathbb{C}$ 上多项式的类似结果。该结果显著改进了先前针对一般多项式已知的（关于 $\text{deg }{(f)}$ 的）指数界。它进一步意味着，在精确除法下，多项式除法算法关于输入规模与商 $h$ 中项数准线性时间运行。这解决了一个关于稀疏多项式精确可除性的长期开放问题。特别地，我们的结果展示了稀疏多项式精确与非精确可除性在运行时间（与表示大小）上的二次分离。值得注意的是，在我们工作之前，甚至不知道商多项式的表示大小能否以其项数的亚二次函数、具体为 $\text{deg }{(f)}$ 的函数所界定。