拓扑的模型论

拓扑概念的代数化在七十余年前由 McKinsey 和 Tarski 的一篇经典论文中提出。然而,在 McKinsey 和 Tarski 的设定中,模型论意义上的同态概念并不对应于连续性概念。我们注意到,如果我们考虑由 $a \sqsubseteq b$ 当且仅当 $a$ 包含于 $b$ 的拓扑闭包中定义的预序关系 $\sqsubseteq$,则这两个概念相对应。一个特化偏序集是一个赋予了一个更粗的预序关系 $\sqsubseteq$ 的偏序集。我们证明,每个特化偏序集都可以嵌入到某个拓扑空间自然关联的特化偏序集中,其中序关系对应于集合论包含。特化半格以类似方式定义,并且相应的嵌入定理得到证明。一些基本的拓扑事实和概念在这一显然非常弱的设定中被恢复。这些结构的意义源于它们也出现在许多相当不同的领域中,甚至远离拓扑学。