平面布朗运动 h 函数反问题的求解方法

给定平面域 D，调和测度分布函数 h_D(r)，以点 z 为基点，指调和测度在距离 z 为 r 的边界部分上的值。等价地，它是从点 z 发出的布朗运动首次碰到距离 z 为 r 的边界的概率。我们称 h_D 为 D 的 h 函数，这一函数捕捉了域的几何特征，如连通性或边界曲率。本文关注反问题：给定合适的函数 h，是否存在域 D 使得 h = h_D？为此，我们首先将域的 h 函数概念扩展至停时 τ。通过利用布朗运动的共形不变性，我们解决了停时的反问题。所对应的停时即为实线碰撞时间的投影。如果该投影对应于域 D 的碰撞时间，则此技术解决了原始反问题。我们找到了一大类例子，使得所对应的停时即为碰撞时间。