高维时空经典物理几何统一的数学家视角

本文提出一个数学家视角下的卡鲁扎-克莱因思想，即用五维时空统一引力和电磁学，并将其推广到更高维时空。通过考虑正爱因斯坦曲率张量的分类和广义相对论中的经典柯西-肖凯-布鲁哈定理，我们引入了类型和刚性的概念。然后，放弃通常的五维时空里奇平坦要求，我们证明可以为引力和电磁学建立一个统一的几何框架，通过投影到经典的四维时空上，得到已知的带电流体爱因斯坦-麦克斯韦-洛伦兹方程组。因此，尽管至少在现阶段没有引入新物理，我们却得到了一个在广义相对论精神下非常优美的经典物理表述。通常的物理概念，如质量、能量、电荷、轨迹、麦克斯韦-洛伦兹定律，都被证明只是时空（作为洛伦兹流形）几何（例如曲率）的不同方面；也就是说，时空中没有引入任何物理对象，没有给出任何定律，一切只是几何。然后，我们将这一框架推广到超过五维，为可能的额外物理效应提供一个精确的数学框架，同时保留引力和电磁学。