关于二部双正则笼、区组设计与广义多边形的进一步探讨

在本文中，我们获得了二部双正则笼（bipartite biregular cages）问题的新下界和上界。此外，对于围长 $6$，当 $n\equiv -1$ $\pmod m$ 时，利用 Steiner 系统 $S(2,k=m,v=1+n(m-1)+m)$ 的存在性，我们给出了 $(m,n;6)$-二部双正则笼的精确参数。对于围长 $g=2r$ 且 $r=\{4,6,8\}$，我们利用广义多边形中由卵形体、散布和子多边形给出的 $t$-good 结构的结果来获得 $(m,n;2r)$-二部双正则图。我们强调，在改进这些图阶的下界的同时，我们也证明了其中一些是 $(m,n;2r)$-二部双正则笼。特别地，我们从一类特殊的广义四边形和六边形构造了相对小的二部双正则图。在一个特例中，我们表明所获得的图实际上是一个具有 $56$ 个顶点的 $(3,4;8)$-二部双正则笼。