一种带排斥的 Kac 模型

我们考虑一个一维、守恒能量并带排斥规则的 Kac 模型：固定粒子数 $n$ 和能量 $E>0$。令每个粒子具有能量 $x_j \geq 0$，且 $\sum_{j=1}^n x_j = E$。对某个 $\epsilon$，允许的构型 $(x_1,\dots,x_n)$ 需满足对所有 $i\neq j$ 有 $|x_i - x_j| \geq \epsilon$。在过程的每一步，均匀随机选取一对粒子 $(i,j)$，然后它们“碰撞”，并将其总能量 $x_i + x_j$ 在两者间重新分配，产生新能量 $x^*_i$ 和 $x^*_j$，满足 $x^*_i + x^*_j = x_i + x_j$，但限制新能量对仍遵守排斥规则。该过程与费米子 Kac 模型有些相似，其中排斥代表泡利不相容原理的效应。然而，此处仅对间隙设下界的“非量子化”排斥规则引入了有趣的新特征，且如我们此处所示，需要 Kac 混沌的细致概念来推导该过程重标度经验测度演化的演化方程。