关于勒让德多项式平方生成函数的超椭圆传奇

我们将勒让德多项式平方的生成函数 $\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}nP_n(y)^2z^n$ 分解为超椭圆曲线周期的乘积。这些周期满足一族$\textit{二阶}$微分方程。这是极不寻常的，因为对于亏格 2，预期的阶是$\textit{四}$。这些二阶方程是算术的，然而令人惊讶的是，它们的单值群在 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ 中稠密。这表明它们无法用超几何函数求解，这对于$\textit{定义在}$ $\mathbb{Q}$ 上的算术二阶微分方程以及此类方程的$\textit{一族}$而言都是新颖的。我们以构造类似例子的配方补充了分析。Maple 对本文的支持见 https://www.math.fsu.edu/~hoeij/saga/。