函数的同调理论

在计算复杂性中，复杂性类由问题或函数的集合给出，基本挑战是证明复杂性类的分离 $A \not= B$，尤其当已知 $A$ 是 $B$ 的子集时。本文引入一种可用于建立复杂性分离的函数同调理论，同时给出其他有趣推论。我们提议将拓扑空间 $S_A$ 关联到每个函数类 $A$，使得要分离复杂性类 $A \subseteq B'$，只需观察到当将 $B'$ 的子类 $B$ 加入 $A$ 时 $S_A$ 中“洞的数量”（即同调）发生变化。换言之，若 $S_A$ 与 $S_{A \cup B}$ 的同调不同，则 $A \not= B'$。我们基于组合与同调交换代数以及 Stanley-Reisner 理论发展了函数的底层理论，并恢复了 Minsky 与 Papert 1969 年的结果，即奇偶校验无法由非极大次多项式阈值函数计算。在此过程中，我们导出多项式阈值函数的“极大原理”，用于将结果进一步推广到任意对称函数。我们展示了一个令人惊讶的巧合：$S_A$ 中“洞”的极大维数上界为 $A$ 的 VC 维，且在常见计算情形（如多项式阈值函数类或 $\mathbb F_2$ 中线性泛函类）或常见代数情形（如 $S_A$ 的 Stanley-Reisner 环为 Cohen-Macaulay）下取等。作为我们理论的另一个有趣应用，我们证明了一个先验与复杂性分离无关的结果：它用同调条件刻画了向量子空间何时与正锥相交。类比于 Farkas 用*线性条件*完成同样事的结论，我们称该定理为同调 Farkas 引理（Homological Farkas Lemma）。