胡昕林定理的Hilbert-Schmidt类比

本文致力于以下问题：考虑两个自伴 $n\times n$ 矩阵 $H_1,H_2$，$\|H_1\|\le 1$，$\|H_2\|\le 1$，使得它们的交换子 $[H_1,H_2]$ 在某种意义下很小。是否存在这样的自伴交换矩阵 $A_1,A_2$，使得 $A_i$ 接近 $H_i$，$i=1,2$？如果小量性是在算子范数意义下考虑的，那么这个问题的答案是肯定的。胡昕林建立了以下结果：如果 $\|[H_1,H_2]\|=\delta$，那么我们可以选择 $A_i$ 使得 $\|H_i-A_i\|\le C(\delta)$，$i=1,2$，其中 $C(\delta)\to 0$ 当 $\delta\to 0$。注意 $C(\delta)$ 不依赖于 $n$。该证明由Friis和Rørdam简化。最近，Hastings建立了该结果的定量版本，其中 $C(\delta)=E(1/\delta)\delta^{1/5}$，$E(x)$ 的增长速度慢于 $x$ 的任何幂次。我们对同样的问题感兴趣，但针对的是归一化的Hilbert-Schmidt范数。该范数下Lin定理的类比由Hadwin以及独立地由Filonov和Safarov建立。最近，Glebsky得到了一个定量版本，其中 $C(\delta)=12\delta^{1/6}$，$\delta=\|[H_1,H_2]\|_{\tr}$。在本文中，我们使用相同的思路证明了一个类似的结果，其中 $C(\delta)=2\delta^{1/4}$。我们还改进了Glebsky关于 $n$ 个算子情形的定理。