完美匹配中边权奇异性的等级结构
组合数学
2026-04-23 v1 离散数学
摘要
受完美匹配权重问题和最近用于寻找第 l 小完美匹配的参数化算法的启发，我们研究边权奇异性在图中的结构属性。El Maalouly 等（ESA 2025）的最新工作表明，排除图中权重至少为第 (l-1) 小值的全部完美匹配，需要在非二分图中固定至多 2(l-1) 条边，在二分图中最多固定 l-1 条边。一个自然的开放问题是：当全局最小和最大权重不同时，是否总有单条边的固定就足以移动完美匹配的极端（最小或最大）权重？为此，我们定义并分析了逐步减弱的边权属性：节点诱导权、偶行走与循环奇异性、完美匹配相等性以及边 min-max 属性。我们推导了这些条件的基本等级结构，证明它们在二分图中等价。对于一般图，我们提供了基于块和紧切分解的紧密结构刻画，表明即使循环奇异性和完美匹配相等性会导致节点诱导权。最终，我们以负方式解决了激励性开放问题，通过构造一个满足边 min-max 属性（每条边都包含在最小权重完美匹配和最大权重完美匹配中）但违反完美匹配相等性（所有完美匹配具有相同的权重）的匹配覆盖非二分图。该反例表明，单条边并不总足以消除所有最小权重或最大权重完美匹配，从而证明了 l=2 时 2(l-1) 界的紧密性。我们还讨论了将此框架扩展到 b-因子和 arborescence 的可能性。
引用
@article{arxiv.2604.20009,
title = {A hierarchy of edge-weight symmetries in perfect matchings},
author = {Kristóf Bérczi and Viktor Csaplár and Yutaro Yamaguchi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.20009},
year = {2026}
}