含噪声边界条件的线性抛物型偏微分方程逆问题的分层贝叶斯设定

在这项工作中，我们开发了一种贝叶斯设定，用于推断与线性抛物型偏微分方程相关的初边值问题中的未知参数。我们现实地假设，对于给定的预设初始条件，边界数据是含噪声的。我们展示了如何在给定服从高斯噪声的解场某些测量值的情况下，推导正问题的联合似然函数。给定随时间变化的 Dirichlet 边界值的高斯先验，我们利用方程的线性对联合似然进行解析边缘化。我们的分层贝叶斯方法在一个涉及热传导方程的示例中得到了完整实施。在该示例中，热扩散率是未知参数。我们假设热扩散率参数可以先验地建模为对数正态随机变量，或通过空间依赖的平稳对数正态随机场进行建模。使用合成数据测试了推断效果。我们利用了热扩散率非归一化对数后验分布的行为。随后，我们使用 Laplace 方法获得近似的高斯后验分布，从而避免昂贵的马尔可夫链蒙特卡洛 (Markov Chain Monte Carlo) 计算。利用 Laplace 近似，对不同实验设置下的可观测量的预期信息增益和预测后验密度进行了数值估计。