面向不规则域的热方程、波方程与 Schrodinger 方程的 GPU 加速笛卡尔网格方法

本文提出一种基于 GPU 加速的笛卡尔网格方法，用于求解不规则域上的一般椭圆偏微分方程 (PDE)，该方法基于 Ying 的核免边界积分 (KFBI) 方法。该方法 addresses CFL 条件下显式方案的局限以及完全隐式方案在 Laplacian 算子上的精度问题。为克服这些挑战，本文采用一系列二阶时间离散方案，将 Laplacian 算子划分为显式与隐式组成部分。具体而言，热方程在时间维度上采用 Crank-Nicolson 方法离散；波方程采用隐式方案；Schrodinger 方程采用 Strang 分裂方法处理。通过在时间维度上采用隐式离散，热方程、波方程和 Schrodinger 方程被转化为一系列椭圆方程组。椭圆方程右侧的 Laplacian 算子来自数值方案，而非通过五点差分法进行离散和校正。采用基于笛卡尔网格的 KFBI 方法求解所得椭圆方程。通过并行笛卡尔网格求解器实现 GPU 加速，充分利用高度并行性，显著提升计算效率。数值实验表明，所提方法对热方程、波方程和 Schrodinger 方程均达到二阶精度。此外，针对三类时依赖方程的 GPU 加速求解器相较于基于 CPU 的求解器实现约 30 倍的加速。