$f$ 散度产生半正定互信息矩阵的全局特征

给定 $n$ 个随机变量，当矩阵成对的 $f$ 互信息定义为半正定（PSD）核时？对于具有 $f(1)=0$ 和有限边界值 $f(0)$ 的凸有限生成器 $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$，我们给出 $f\sim f+c(t-1)$ 的线性变换下闭式特征描述，该变换不改变任何 $f$ 散度和任何 $f$ 互信息矩阵。矩阵 $M^{(f)}_{ij}:=I_f(X_i;X_j)$ 在每个有限字母表族中为 PSD 当且仅当标准化代表 $\bar f(t)=\sum_{m\ge2}a_m(t-1)^m$ 在整个 $(0,\infty)$ 上具有全局收敛展开，且 $a_m\ge0$。充分性来自单项生成器的复制嵌入加上非负混合的闭包。必要性首先提取点 $1$ 处的局部 Taylor 锥，使用偏倚三点核 $H_a$、Belton--Guillot--Khare--Putinar（BGKP）低秩 Hankel 正定保持定理，然后引导分析性质到散度。这是一个核特征问题，而非度量问题：变量索引矩阵的 PSD 与散度在分布之间具有的 Hilbertian 属性是不同的。该结果解释了为何 Shannon 互信息和 Jensen--Shannon 失败，为何 $\chi^2$ 成功，为何诸如总变差和 ReLU 等非解析散度被排除。