A Gauge-Theoretic Action Principle for Viscous Incompressible Fluids

我们提出了一种用于二维不可压缩流体动力学的新型作用原理，该原理自然通过规范场耦合来包含涡旋和粘性耗散。该作用量包含类似克朗·斯蒂根斯项的项，$\epsilon^{\mu\nu\rho} A_\mu \partial_\nu A_\rho$，捕捉涡旋的拓扑结构，同时包含表示粘性阻尼的二次项$(\epsilon^{\mu\nu\rho} \partial_\nu A_\rho)^2$。通过拉格朗日乘子来实现不可压缩性，而通过耦合外部势可以实现地理流体的应用。我们推导了运动方程，恢复了二维不可压缩Navier-Stokes方程的涡旋形式，并显式地标明了运动粘度。这种规范论框架导致了一个关于涡旋的Helmholtz型方程，将拓扑现象与耗散现象联系起来。对Noether对称性的分析揭示了由于规范不变性和空间平移所产生的守恒电荷，而粘性则在这种拓扑环境下显式地破坏了时间反演对称性。此外，速度-涡旋规范对应自然地建议了Lindblad算子结构，为粘性耗散的量子描述提供了路径，并允许对耗散性流体动力学进行量子化。该框架还突出显示了涡旋如何作为自然的Lindblad算子，捕捉从有序的旋转运动向热力学无序性的过渡。