一种用于低容差下高效求解刚性常微分方程的全自适应Radau方法
数值分析
2025-05-15 v2 数学软件
数值分析
摘要
Radau IIA方法，特别是Hairer开发的Fortran自适应阶数Radau方法，被认为是高精度求解高度刚性常微分方程（ODE）的先进方法。然而，传统实现局限于特定的容差范围，仅支持5阶、9阶和13阶的tableau版本，且仅在双精度浮点数下推导，从而限制了其在高保真场景中真正通用的能力。为缓解这些限制，我们实现了一种自适应时间自适应阶数的Radau方法，该方法能够动态地为任意阶数的Radau IIA嵌入tableau推导系数，并达到任意精度。此外，我们的基于Julia的实现包含多项性能改进，包括对阶数自适应方案的改进和更好的线性代数集成。在与经典Fortran实现的直接对比基准测试中，我们证明我们的实现在一系列刚性ODE上速度大约提升2倍。我们将算法与几种著名的刚性ODE数值积分器进行基准测试，发现在多个测试问题上达到了先进性能，在需要低误差容限时，比常见的刚性ODE数值积分器快1.5倍。新实现的方法以开源软件形式发布，可免费用于刚性ODE求解。
引用
@article{arxiv.2412.14362,
title = {A Fully Adaptive Radau Method for the Efficient Solution of Stiff Ordinary Differential Equations at Low Tolerances},
author = {Shreyas Ekanathan and Oscar Smith and Christopher Rackauckas},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.14362},
year = {2025}
}