四均值定理及其在伪谱中的应用

设 $N\ge 4$。我们证明，若 $x_1,\dots,x_N$ 与 $y_1,\dots,y_N$ 为严格正数的 $N$ 元组，且其算术、几何与调和均值一致，则 $$\max_j x_j <(N-2)\max_j y_j \quad\text{and}\quad \min_j x_j <(N-2)\min_j y_j.$$ 此结果用于证明：若 $N\ge4$ 且 $A,B$ 为具有超恒等伪谱的 $N\times N$ 矩阵，则对任意多项式 $p$，有 $$\|p(A)\|< \sqrt{N-2}\|p(B)\|,$$ 除非 $p(A)=p(B)=0$。这将此前已知的不等式改进至达到紧致，至少对于 $N=4$ 是如此。