Azadkia 与 Chatterjee 秩相关对多响应向量的直接推广

近来，Chatterjee（2023）指出其 Azadkia 与 Chatterjee（2021）中的秩相关 $\xi$ 缺乏向多维响应向量的直接推广。作为该问题的自然解法，我们在此提出一种适用于 $q \geq 1$ 个响应变量集合的 $\xi$ 推广，其方法基于将原始向量值问题转化为单变量问题，再对其应用秩相关 $\xi$。我们的新度量 $T$ 量化了响应向量 $\mathbf{Y} = (Y_1,\dots,Y_q)$ 对预测变量 $\mathbf{X} = (X_1, \dots,X_p)$ 函数依赖的尺度不变程度，刻画了 $\mathbf{X}$ 与 $\mathbf{Y}$ 的独立以及 $\mathbf{Y}$ 对 $\mathbf{X}$ 的完全依赖，从而满足可预测性度量的所有特征。为最大可解释性，我们给出 $T$ 的多种不变性结果及在多变量正态模型中的闭式表达。基于 Azadkia 与 Chatterjee（2021）中 $\xi$ 的图估计量，我们获得 $T$ 的非参数强一致估计量，并作为其主要贡献证明其渐近正态性。基于该估计量，我们发展了无需任何调参、无模型且基于秩的多结果数据特征排序与前向特征选择。模拟结果与真实案例说明了 $T$ 的广泛适用性。