虚排序中一致有限性的一个判据

设 $T$ 为一个理论。若 $T$ 消去 $\exists^\infty$，未必能推出 $T^{eq}$ 消去 $\exists^\infty$，如 $p$-进数之例所示。我们给出一个判据以确定 $T^{eq}$ 是否消去 $\exists^\infty$。具体而言，我们证明 $T^{eq}$ 消去 $\exists^\infty$ 当且仅当在所有可解释的一元虚元（unary imaginaries）集合上消去 $\exists^\infty$。该判据可在 $T^{eq}$ 的完整描述未知时应用。作为一个应用，我们证明当 $T$ 是 ACVF 的 C-极小扩张时，$T^{eq}$ 消去 $\exists^\infty$。