圈上流的一个组合性质

在本文中，我们证明了圈上流的一个组合性质。$C(V,E)$ 是一个无向圈，带有两种商品：$\{s_{1},t_{1}\}, \{s_{2},t_{2}\}$；$r_1>0,r_2>0, \mathbf r=(r_i)_{i=1,2}$，且 $f,f'$ 均为 $(C,(s_i,t_i)_{i=1,2},\mathbf r)$ 的可行流。则 $\exists i\in\{1,2\}, p\in P_i, f(p)>0, \forall e\in p, f(e)\geq f'(e)$；此处对每个 $i\in\{1,2\}$，令 $P_i$ 为 $C$ 中 $s_i$-$t_i$ 路径的集合，且 $P=\cup_{i=1,2}P_i$。这意味着给定一个圈上的两商品实例，任意两个不同的网络流 $f$ 和 $f'$，相较于 $f'$，$f$ 不可能同时减少每条路径的流量。该组合性质是从单商品情形到两商品情形的推广，并且我们也给出一个实例说明当 $k\geq 3$ 时该组合性质对 $k$-商品情形不成立。