Sahi、Stokman 与 Venkateswaran 的 Macdonald 多项式推广的组合公式

Sahi、Stokman 与 Venkateswaran 为每个正整数 $n$ 构造了一族依赖于参数 $q$ 与 $k$（此外还有 $\lfloor n/2\rfloor$ 个“metaplectic 参数”）的洛朗多项式，使得 $n=1$ 情形恢复非对称 Macdonald 多项式，而 $q\rightarrow\infty$ 极限给出具任意 Gauss 和参数的 metaplectic Iwahori-Whittaker 函数。在本文中，我们研究这些新多项式（称之为 SSV 多项式）在 $GL_r$ 的情形。我们应用 Ram 与 Yip 的一个结果，给出 SSV 多项式基于 alcove walks（室走）的组合公式。该公式立即表明 SSV 多项式关于 Bruhat 序的一个版本满足三角性，这转而给出 SSV 多项式构成洛朗多项式空间一组基的独立证明。该结果也被用于表明 SSV 多项式比相应的 Macdonald 多项式具有\emph{更少}的项。我们还记录了对置换 basement Macdonald 多项式自然推广的 alcove walk 公式。随后我们构造了 SSV 多项式的对称变体：这些关于 Chinta-Gunnells 外尔群作用的一个共轭对称，并在 $n=1$ 时归约为对称 Macdonald 多项式。我们也获得了对称多项式的 alcove walk 公式。最后，我们计算了 SSV 多项式的 $q\rightarrow 0$ 与 $q\rightarrow \infty$ 极限，并观察到我们的组合公式可分别仅用带正折与负折的 alcove walks 写出。在这两个 $q$ 极限情形中，我们还观察到了系数的正性结果。