一种用于求解拉普拉斯线性系统的组合割切换算法

在过去的二十年中，理论算法领域的一条重要研究脉络在求解系数矩阵为加权图拉普拉斯矩阵的线性系统方面取得了进展。该线性系统的解可解释为电流的势。Kelner、Orrechia、Sidford 和 Zhu（STOC 2013）给出了一种组合式的近线性时间算法，该算法保持基尔霍夫电流定律，并通过更新环路上的流（环路切换）逐步强制满足基尔霍夫电势定律。在本文中，我们考虑该算法的一个对偶版本，其保持基尔霍夫电势定律，并通过割切换逐步强制满足基尔霍夫电流定律：每次迭代将生成树的一条基本割的一侧上所有势按相同量更新。我们证明该对偶算法同样在近线性次迭代内运行。然而，我们指出，若将割切换抽象为一个自然的数据结构问题，该问题可归约为在线向量-矩阵-向量问题，而 Henzinger、Krinninger、Nanongkai 和 Saranurak（STOC 2015）曾猜想该问题对动态算法而言是困难的。该猜想意味着割切换算法的直接实现每次迭代本质上需要线性时间。为规避该下界，我们对更新步骤进行批处理，并同时而非顺序地执行它们。适当选择批处理可得到求解拉普拉斯系统的 $\tilde{O}(m^{1.5})$ 时间割切换算法。此外，若我们对图进行稀疏化，并在由批处理与稀疏化所隐含的拉普拉斯系统上递归调用我们的算法，运行时间可降至对任意 $\epsilon > 0$ 的 $O(m^{1+\epsilon})$。因此，对偶割切换算法可达成（几乎）与其原始环路切换对应算法相同的运行时间。