极大齐次二次无关集的刻画

Balas 于 1971 年引入了相交割框架，作为整数优化中生成割平面的方法。在此框架中，人们使用全维凸 $S$-无关集（其中 $S$ 是整数规划的可行域），来导出将 $S$ 与 $S$ 的线性松弛的非整数顶点分离的割。在所有 $S$-无关集中，正是包含意义下的极大集生成了最强的割。最近，该框架已被扩展到整数情形之外，以在非线性设定下获得割平面。在这项工作中，我们考虑了 $S$ 由齐次二次不等式定义的特定设定。在这种“二次无关”设定下，每个函数 $\Gamma: D^m \to D^n$（其中 $D^k$ 是 $\mathbb{R}^k$ 中的单位圆盘）都会生成一个二次无关集的表示。虽然并非每个 $\Gamma$ 都能生成极大的二次无关集，但每个全维极大的二次无关集确实都是由某个 $\Gamma$ 生成的。我们的主要结果表明，相应的二次无关集是全维且极大的，当且仅当 $\Gamma$ 是非膨胀的且满足一个技术条件。这一结果产生了比以往已知的更大的极大 $S$-无关集类。我们的结果源于对极大 $S$-无关集（对于超出二次设定的一般 $S$）的新刻画，该刻画基于“暴露”定义该 $S$-无关集的不等式的序列。