簇与方程的范畴论视角

我们提出一个通用框架，从范畴论观点以极大一般性研究簇。本研究的主要应用在于代数范畴的情形，其中我们引入 Birkhoff 簇——本质上是代数范畴的子簇——并得到了 Birkhoff 簇定理的推广。特别地，我们证明 Birkhoff 簇是余自反等化子。此推广的关键在于为代数范畴的子簇给出更一般的方程概念。为获得 Birkhoff 簇的刻画，我们研究代数范畴上的插入器，推广了关于 $Set$ 上有限自函子代数的若干已知结果。通过对偶性，我们得到上代数范畴的余子簇的刻画。令人惊讶的是，这些余子簇依我们的簇理论竟也是簇。