3-极值全纯映射与对称化双向盘

我们分析了从单位圆盘 $\mathbb{D}$ 到对称化双向盘 $\mathcal{G}$ 的 3-极值全纯映射，其中 $\mathcal{G}$ 定义为集合 $\{(z+w,zw): z,w\in\mathbb{D}\}$，旨在研究 $\mathcal{G}$ 的复几何与函数论。这些映射是指在 $\mathbb{D}$ 中任意三个不同点上的限制所产生的插值数据恰好可解的映射。我们发现了一大类此类映射；它们是有理映射且次数至多为 4。研究表明存在两类性质不同的次数至多为 4 的有理 $\mathcal{G}$-内函数，分别称为{\em 对齐}（aligned）和{\em 杂乱}（caddywhompus）函数；其区别在于单位圆上某些相关点的循环排序。对齐函数是 3-极值的。我们描述了一种构造对齐有理 $\mathcal{G}$-内函数的方法；借助此方法，我们将 $\mathbb{D}$ 到 $\mathcal{G}$ 的对齐全纯映射的 3 点插值问题的求解归约为一组具有混合内部和边界插值节点的经典 Nevanlinna-Pick 问题。证明依赖于 $\mathcal{G}$ 的一种对偶形式。