量纲分析百年：经验定律推导的新进展

在量纲分析(DA)百年纪念前夕，我们提出了该理论的一个推广以及从观测数据中发现经验定律的方法论。众所周知，量纲分析：a) 减少了自由参数的数量，b) 通过量纲齐次性保证了尺度不变性，c) 从变量的无量纲组合中提取函数信息。Rudolph及其合作者的结果——量纲分析还产生了一对新的变换——相似变换(S)将物理量纲数据转换为无量纲空间及其逆变换(S')——则较少为人所知。这里，我们给出了Buckingham定理的矩阵推广，这得益于非方阵逆矩阵理论的最新发展，并展示了这对变换如何自然产生。我们证明了逆变换S'是非唯一的，以及这如何对在未引用观测数据以打破变换回量纲（物理）空间时固有的简并性所获得的标度关系的有效性产生质疑。作为示例，我们展示了如何使用矩阵方法在仅几行内推导出普朗克辐射定律的底层函数形式，而无需诉诸第一性原理，从而展示了先验知识发现的可能性；但后续的数据分析仍然是识别精确因果定律所必需的。希望这里的证明能给理论物理学家使用量纲分析求解逆问题的信心。