限制在簇上的多项式的零-非零模式与符号条件的实现界及其应用

对于限制在仿射或射影空间的代数子集 $V$ 上的有限多项式族 $\mathcal P$，我们获得了其可实现的零-非零模式以及（在有序域上的）符号条件数量的上界，且该上界独立于环境维度。这些界仅取决于 $\mathrm{card}(\mathcal P)$、$\mathcal P$ 中多项式的次数以及 $\mathrm{deg}(V)$ 和 $\dim(V)$，而不取决于 $V$ 所嵌入空间的维度。当 $V$ 具有较小的内在维度但存在于非常高维的环境空间中时，这一特征特别有用。我们描述了几个应用。首先，我们扩展现有关于实代数簇 $\varepsilon$-熵界的结果。其次，我们在代数计算树模型中推导了半代数集成员测试的下界（以连通分量的数量表示）。最后，受量子复杂度理论的启发，我们在有限维向量空间和代数中引入了相对于固定代数子集的相对秩的加法和乘法概念，推广了张量秩的经典概念。我们证明了相对于有界次数和维度的代数集，有限子集的最大相对秩的一般下界，该界同样独立于环境维度。作为说明，我们获得了 Shannon 经典下界的量子类比：几乎所有的布尔函数都需要大小为 $\Omega(2^n/n)$ 的经典电路，即使存在由固定次数和维度的代数子集指定的量子预言机也是如此。