包含矩阵与链

给定整数 $t$、$k$ 和 $v$ 使得 $0\leq t\leq k\leq v$，令 $W_{tk}(v)$ 为 $v$ 元集的 $t$-子集与 $k$-子集之间的包含矩阵。我们略微修改了标准 Young 表的概念，以研究由 Frankl 引入的有限正整数集的秩的概念。利用这一点，给出了将偏序集 $2^{[v]}$ 分解为对称无跳跃链的方法。基于此分解，我们构造了一个包含矩阵，记为 $W_{\bar{t}k}(v)$，它与 $W_{tk}(v)$ 行等价。确定了其 Smith 正规形。作为应用，得到了 $W_{tk}(v)$ 的 Wilson 对角形，以及关于系统 $W_{tk}\bf{x}=\bf{b}$ 存在整数解的充要条件的著名定理（由 Wilson 提出）的新证明。最后，我们提出了另一个包含矩阵，其性质与 $W_{\bar{t}k}(v)$ 相似，并在某种意义上与 $W_{tk}(v)$ 等价。