关于强鲁宾逊不完全矩阵的可识别性

当矩阵的部分元素缺失时，称其为不完全矩阵。鲁宾逊不完全对称矩阵是指其非缺失元素沿行与列向对角线移动时不减的 incomplete 对称矩阵。强鲁宾逊不完全对称矩阵是指一个不完全对称矩阵 $A$，使得若 $a_{i,j}$ 与 $a_{k,l}$ 是 $A$ 的两个非缺失元素且 $i\leq k \leq l \leq j$，则有 $a_{k,l} \geq a_{i,j}$。另一方面，若存在对其行与列的同步重排可得到一个强鲁宾逊矩阵，则该不完全对称矩阵是强鲁宾逊的。本文中，我们首先证明存在一个不完全鲁宾逊矩阵不是强鲁宾逊的。因此，这两个定义并不等价。其次，我们研究强鲁宾逊不完全矩阵的识别问题。已知不完全鲁宾逊矩阵的识别是 NP 完全的。我们证明不完全强鲁宾逊矩阵的识别也是 NP 完全的。然而，我们证明强鲁宾逊矩阵的识别可关于缺失元素个数参数化。事实上，我们给出了一个 $O(|w|^bn^2)$ 的强鲁宾逊矩阵识别算法，其中 $b$ 为缺失元素个数，$n$ 为矩阵大小，$|w|$ 为矩阵中不同值的个数。