非中心随机矩阵的圆律

设 $(X_{jk})_{j,k\geq 1}$ 是一个均值为 0、方差为 1 的独立同分布复随机变量的无限数组。设 $\la_{n,1},...,\la_{n,n}$ 为 $(\frac{1}{\sqrt{n}}X_{jk})_{1\leq j,k\leq n}$ 的特征值。强圆律定理指出，以概率 1，经验谱分布 $\frac{1}{n}(\de_{\la_{n,1}}+...+\de_{\la_{n,n}})$ 当 $n\to\infty$ 时弱收敛于单位圆盘 $\{z\in\dC;|z|\leq1\}$ 上的均匀分布。在这篇简短的笔记中，我们提供了一个初等论证，允许向 $(X_{jk})_{1\leq j,k\leq n}$ 添加一个确定性矩阵 $M$，前提是 $\mathrm{Tr}(MM^*)=O(n^2)$ 且 $\mathrm{rank}(M)=O(n^\al)$，其中 $\al<1$。方便的是，该论证类似于用于 Wigner 定理和 Marchenko-Pastur 定理非中心版本的论证。