圆规律的一个重新考察

考虑一个复数随机 $n\times n$ 矩阵 ${\bf X}_n=(x_{ij})_{n\times n}$，其中条目 $x_{ij}$ 是独立的随机变量，具有零均值和单位方差。众所周知，Tao 和 Vu (Ann Probab 38: 2023-2065, 2010) 解决了圆规律猜想，证明如果 $x_{ij}$ 的独立同分布随机变量具有零均值和单位方差，则矩阵 $\frac{1}{\sqrt{n}}{\bf X}_n$ 的经验谱分布在 $n \to \infty$ 时几乎必然收敛于复平面单位圆盘上的均匀分布。本文演示了在更一般的 Lindeberg 条件下圆规律仍然成立： \frac1{n^2}\sum_{i,j=1}^n\mathbb{E}|x_{ij}^2|I(|x_{ij}|>\eta\sqrt{n})\to 0,\mbox{as $n \to \infty$}. 本文是对 Bai (Ann Probab 25: 494-529, 1997) 中圆规律证明方法的一个重新审视。本文的关键突破是建立了在 Lindeberg 条件下关于一般大数定律的统一上界，以及关于随机矩阵最小特征值积分的统一上界。这些进展显著简化并澄清了圆规律的证明，提供了比其他现有方法更直接、更简洁的途径。