证据感知的诱导金刚 diamond 检测

我们提供了一个快速证据感知算法，用于检测包含 $t$ 个诱导金刚 diamond 的 $n$ 顶图中的金刚子图（即去除一条边的 $K_4$）。该算法以高概率运行于时间复杂度 $\tilde{O}(\min(n^{2.425}/t^{0.25}+n^2, n^\omega))$，显著改进了以往的证据不敏感算法（即时间复杂度 $O(n^\omega\log{n})$ [Vassilevska Williams 等, SODA 2014]），当 $t \geq n^{(3-\omega)/3}$ 时尤为如此，其中 $\omega < 2.372$ 为矩阵乘法指数。我们的关键洞见在于，金刚子图大小对于检测诱导金刚 diamond 起到了关键作用。我们称大小至少为 $r$ 的金刚子图为 $r$-重，请提供一种在 $\tilde{O}(r \cdot (n/r)^\omega + (n/r)^3+ nr)$ 时间内快速检测 $r$-重金刚 diamond 的算法。当不存在 $r$-重金刚 diamond 时，我们提供另一种在 $\tilde{O}(\mathsf{MM}(n,n,n\sqrt{r/t}))$ 时间内的快速检测算法，其中 $\mathsf{MM}(a,b,c)$ 表示 $a \times b$ 矩阵乘以 $b \times c$ 矩阵的时间，对于 $r=\tilde{O}(1)$ 时呈条件最优。我们的主要技术贡献在于设计一种用于抽样向量的细化框架，允许以图结构为适应性方式对不存在 $r$-重金刚 diamond 的图进行顶点抽样，以检测 diamond。我们证明该技术具有广泛适用性，通过展示它也允许为 $4$-SUM 和特殊 $4$-环情形下更快的证据感知算法。