为何十八百分之一的 Benford 序列从不收敛

我们研究 bases 2 <= b <= 1000 中 Benford 序列 $b^n$ 的多位数相关性，通过条件互信息 (conditional mutual information, CMI) 测量依赖性。基于 $\log_{10}(b)$ 的连分数展开推导的共振比率将基数划分为收敛型与持久型 (定理 3.13)：在样本深度 N = 10,000 时，调查 996 个基数，其中 84 个 (8.4%) 表现为持久相关；将计算扩展至 N = 200,000 后确认 53 个 (5.3%) 为真正持久。我们证明 CMI 偏离量受分布误差界制 (定理 3.4)；穿尽 2,988 个测试案例的计算结果确认有效标度为二次，蕴含有界型基数得到的双侧速率 $\beta = 2$ (在经计算验证的 Hessian 正定性条件下)。在 774 个收敛型基数中观察到的有效指数为 $\beta_{eff} = 1.72 \pm 0.19$，与渐近速率的有限样本修正一致。我们推断持久率收敛至 1/12，此预测基于部分商的 Gauss-Kuzmin 分布。对于持久型基数，收敛阈值 $N_\epsilon$ 超过 $10^6$ 于标准精度下，使得在计算范围内观察渐近极限在观察上无关紧要。