哪些 NP 难 SAT 与 CSP 问题容许指数级改进算法?

我们研究潜在无限语言 $\Gamma$ 在变量取反下封闭(符号对称语言)的 SAT($\Gamma$) 问题的复杂度。通过一种代数联系,这归结为研究 $\Gamma$ 的限制部分多态,我们称之为 \emph{pSDI-运算}(部分、自对偶且幂等)。首先,我们研究语言类本身。我们对最弱限制 pSDI-运算(对应于最强大的语言 $\Gamma$)的结构进行分类,发现这些运算可分为 \emph{层次},对应于一种粗略的难度概念;并且在每一层次中存在最强运算(部分 $k$-NU 运算,保持 $(k-1)$-SAT)和最弱运算($k$-泛运算 $u_k$,保持可由有界度多项式定义的问题)。我们证明每个不被 $u_k$ 保持的符号对称 $\Gamma$ 实现所有 $k$-子句;因此若 $\Gamma$ 对任意 $k$ 都不被 $u_k$ 保持,则 SAT($\Gamma$) 平凡地是 SETH-难的,且除非 SETH 不成立否则无法快于 $O^*(2^n)$ 求解。其次,我们研究此类语言的 SAT($\Gamma$) 的上界与下界。我们表明层次中的若干类对应于可使用先前已知的算法策略(如 Subset Sum 式折半搜索和快速矩阵乘法)快于 $2^n$ 求解的问题。此外,若向日葵猜想对含 k 个集合的向日葵成立,则部分 k-NU 语言可通过局部搜索获得改进算法。作为补充,我们证明对每个类存在一个具体下界 $c$,使得该类所有问题的 SAT($\Gamma$) 除非 SETH 不成立否则无法快于 $O^*(c^n)$ 求解。这给出了首个已知的同时在 SETH 下具有非平凡上界与下界的 SAT 问题案例。