神经算子何时能替代粗网格求解？两层预条件子的架构原则
数值分析
2026-05-20 v1 数值分析
摘要
神经算子越来越多地被用作经典数值方法中的即插即用加速器，但哪些架构要素对哪种角色至关重要却鲜有明确说明。我们针对一个重要的角色回答了这个问题：离散线性偏微分方程的两层预条件子中的粗空间校正。通过沿两个设计轴——输入离散化（采样与基于基函数的积分）和源项线性——系统地改变四种类 DeepONet 架构，我们表明，这个 2×2 设计中最有利的角落由单一架构——神经格林算子（NGO）占据，而偏离它则会产生可预测的失效模式：结构上非对称的预条件谱、自伴问题上预条件共轭梯度法的崩溃，以及非自伴问题上的停滞。作为粗空间校正，NGO 在扩散和对流-扩散问题上的迭代次数与精确粗网格求解相匹配。我们还刻画了固定大小的学习型粗空间在高亥姆霍兹波数下的失效，将其归结为基函数的性质而非架构的性质。这一原则具有普适性：将输入相对于用于输出的基函数进行积分，正是使神经算子能够充当伽辽金型粗空间校正的原因。
引用
@article{arxiv.2605.19867,
title = {When can a neural operator replace a coarse solve? Architectural principles for two-level preconditioning},
author = {Hugo Melchers and Michael Abdelmalik and Victorita Dolean},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.19867},
year = {2026}
}