神经算子遇见共轭梯度法：用于高效求解偏微分方程的 FCG-NO 方法

偏微分方程的深度学习求解器通常精度有限。我们提出通过使用它们作为预条件子来克服这一问题。具体而言，我们应用离散化不变的神经算子来学习灵活共轭梯度法（FCG）的预条件子。该架构 paired with 新颖的损失函数和训练方案，使得能够学习可跨不同分辨率使用的高效预条件子。在理论方面，FCG 理论允许我们安全地使用非线性预条件子，这些预条件子可在 $O(N)$ 次操作中应用，而无需限制预条件子矩阵的形式。为了证明学习方案组件（损失函数和训练数据收集方式）的合理性，我们进行了多项消融研究。数值结果表明，我们的方法与经典预条件子相比具有优势，并允许将针对较低分辨率学习的预条件子复用于较高分辨率的数据。