边距遗传图的加权 clique 与独立集

本文研究了两种天然的遗传类扩展的算法问题：边 apex 类和边加类，这两种类由Singh和Sivaraman最近引入。它们定义为从遗传类$\mathcal{G}$通过至多一次边删除或一次非边添加得到的图类。建立在表明这两种类仍为遗传类且在$\mathcal{G}$为遗传类时可获得有限的诱导子图描述 characterization 基础上，我们关注加权最大clique 问题（WMCP）和加权最大独立集问题（WMISP）。我们首先提出针对边 apex 类和边加 类中的WMCP和WMISP的算法。扩展这一框架后，我们引入$\mathcal{G}$-边距离的概念，用记号$\xi_{\mathcal{G}}(G)$表示，衡量图G与类$\mathcal{G}$之间距离的指标，即至少需要删除多少条边或添加多少条非边才能将其转化为$\mathcal{G}$的成员。在以此距离为参数化条件下，我们证明只要WMCP和WMISP在类$\mathcal{G}中都可在多项式时间内求解，便可在$\mathcal{G}$-边距离为k的图上以O*(2^k)时间内求解这两个问题。该结果将之前对单一边 apex 类和边加类的算法 characterization 扩展到更一般的k-边距离图。通过将通用结果与传递图的已知性质相结合，我们表明WMCP和WMISP可在传递边距离为k的图上以O*(2^k)时间内求解。