超越独立集的边际 Clique 分解与覆盖

将图的边覆盖或划分为 Clique 是组合优化和图论交叉领域的经典问题，已通过多种算法和复杂性理论视角进行研究。尽管已知这些问题在以 Clique 总数为参数时具有固定参数可解性，但这种参数化方式对于稀疏图往往缺乏意义。在许多真实实例中，边缘覆盖或划分中最小的 Clique 数与最大独立集 $\alpha(G)$ 的大小非常接近。为此，我们研究以 $\alpha$ 为基准的参数化。具体而言，我们引入并研究 Edge Clique Cover Above Independent Set（ECC/\alpha）和 Edge Clique Partition Above Independent Set（ECP/\alpha），其中目标是使用最多 $\alpha(G) + k$ 个 Clique 覆盖或划分图中所有边，$k$ 为参数。我们的主要结果揭示了两种变体的不同复杂性景观：我们指出 ECP/\alpha 是固定参数可解的，而 ECC/\alpha 对于所有 $k \geq 2$ 都是 NP 难题，但可在 $k \in \{0,1\}$ 时多项式时间内求解。这些发现凸显了在以自然下界为基准进行参数化视角下，两种问题之间的引人入胜的差异。最后，我们表明当以 $k + \omega(G)$ 为参数时，ECC/\alpha 可被固定参数求解，其中 $\omega(G)$ 为图 $G$ 的最大 Clique 大小。该结果对稀疏图尤其 Relevant，因为 $\omega$ 通常较小。对于 H-小数free 图，我们设计了运行时间为 $f(H)^{\sqrt{k}}n^{O(1)}$ 的亚指数算法。