亚 Weibull 向量的高效稳健协方差估计

高维协方差估计对异常值极其敏感。虽然针对一般重尾分布存在统计最优估计器，但它们往往依赖于半正定规划或迭代 M 估计等计算昂贵的技术（$O(d^3)$）。本文针对亚 Weibull 分布的特定场景（ characterized by指数衰减尾部 $\exp(-t^\alpha)$）进行研究。我们针对亚 Weibull 类问题，探讨一种计算效率更高的替代方法：交叉拟合范数截断估计器。不同于元素级截断，本方法在保持谱几何结构的同时，只需 $O(Nd^2)$ 的运算量，这代表了构建完整协方差矩阵的理论下界。虽然球形截断在各向异性数据上几何上并非最优，但我们证明在亚 Weibull 类中，指数尾部衰减可补偿这种不匹配。基于加权 Hanson-Wright 不等式，我们推导出非渐近误差上界，表明该估计器以高概率恢复最优亚高斯率 $\tilde{O}(\sqrt{r(\Sigma)/N})$，为尾部重于高斯但轻于多项式衰减的高维数据提供了可扩展解决方案。