ERGMs 与 Erd\H{o}s-R\'enyi 模型之间的 Wasserstein 距离

铁磁指数随机图模型（ERGMs）是一种随机图模型，其中倾向于存在某些小型结构（如三角形）的结构；它们可以通过对特定非线性哈密顿量的指数进行倾斜来构造，即从 Erd\H{o}s--R\'enyi 模型中得到。这些模型是 metastable wells 的混合物，这些每个 metastable wells 在宏观上都像 Erd\H{o}s--R\'enyi 模型，表现出对子图计数相同的大数定律 [CD13]。然而，在微观尺度上，这些 metastable wells 与 Erd\H{o}s--R\'enyi 模型截然不同，两种测度之间的总变差距离趋于 1 [MX23]。本文通过给出两种模型在哈巴赫-瓦斯拉斯特距离上的尖锐（常数因子）界限来阐明这一局面，这是指在最小化该平均距离的耦合下，两种模型之间平均边数的差异。在本文中，我们证明该距离为 $\Theta(n^{3/2})$，精确量化了这些模型之间的差异。以这种形式的上界此前已出现 [RR19]，但仅限于参数的亚临界（高温）范畴。我们扩展了这个上界，采用新的证明技术，适用于超临界（低温）范畴，并证明了一个匹配的下界，该下界仅在满足“无三角形”条件的 ERGMs 的亚临界范畴中的特殊案例中先前出现过 [DF25]。为证明三角形存在下的下界，我们引入了一种对哈密顿量离散导数的近似，该近似以局部三角形和楔形（两星）计数来控制 ERGMs 的动力学特性。这一近似是本文的主要技术和概念贡献，我们期望它在其他各种情境下也有所帮助。顺便我们还通过一种新的引导方法，对 ERGMs 下的边缘概率给出了一个界限。这种界限已经存在于 [FLSW25]，但同样仅限于亚临界范畴且使用不同的证明策略。