经典 $Q$-上同调中 S-对偶性的破坏

我们研究了 $\mathcal{N}=4$ 超杨-米尔斯(SYM)理论在树图级别的手性超荷 $Q$ 的上同调。这些上同调类与单圈级别的 $\frac1{16}$ Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfield (BPS) 态一一对应。我们论证了 Coulomb 分支上的单调类尊重具有 $\mathrm{SO}(2N+1)$ 和 $\mathrm{USp}(2N)$ 规范群的理论之间的 S-对偶性,但发现了一对上同调类的明确例子,它们在某种意义上“破坏”了 S-对偶性,即两个自由点附近的树图级 $Q$-上同调并不同构。在这对中,一个是偶然类,另一个是单调手性环元素。假设 S-对偶性的非微扰有效性,我们的结果反驳了一个长期存在的猜想,即 $\mathcal{N}=4$ SYM 中 $\frac1{16}$-BPS 谱(包括 $\frac1{8}$-BPS 手性环谱)的单圈精确性。在数学上,这表明相对李代数上同调 $H^\bullet(\mathfrak{g}[A],\mathfrak{g})$ 通常不与 $H^\bullet({}^L\mathfrak{g}[A],{}^L\mathfrak{g})$ 分级同构,其中 $\mathfrak{g}$ 和 ${}^L\mathfrak{g}$ 是一对 Langlands 对偶李代数,且 $A=\mathbb{C}[z^+,z^-]\otimes\Lambda(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$。