关于相同XOR基Minimizer的k-mers个数的Vigemers

在生物信息学中，minimizer 已成为处理从DNA或RNA测序中提取的k-mers（固定大小k的词）不可避免的方法，无论是用于抽样、存储、查询还是分区。根据某种固定顺序对m-mers（m<k），k-mers的minimizer定义为其最小m-mers——并充当其指纹。虽然minimizer被广泛用于分区目的，但几乎没有关于所得分区质量的理论工作。例如，已知多年 lexicographic 顺序在实证上导致高度不平衡的分区，而在实际中不可用，但直到最近，才有人对这一观察进行了理论论证。对lexicographic顺序的拒绝导致社区诉诸（伪）随机顺序使用哈希函数。本文扩展了关于由lexicographic顺序获得的分区的理论结果，转向一个（指数级）大型哈希函数族，即m-mers被异或到固定密钥。更准确地说，给定密钥 $\gamma$ 和m-mers $w$，我们研究计数函数，即多少个k-mers将$w$作为其minimizer（即$w\oplus\gamma$在该k-mers的所有m-mers中最小）。这个数字记作 $\pi_k^{\gamma}(w)$，代表如果所有可能的k-mers都被看到并进行分区，与$w$相关联的bucket的最大大小。我们采用（lexicographic顺序）文献中的方法来适应我们的框架，提出组合方程，允许使用动态规划在 $O(km^2)$ 时间复杂度和 $O(km)$ 空间复杂度内计算 $\pi_k^{\gamma}(w)$。