弦重排曲面上的变分极小化：以双线性插值分析为例

在本文中，我们提出了一种算法，通过在曲面上发起变分改进来减少由有限条边界曲线张成的曲面的面积。我们建议的试探解由原曲面加上一个变分参数 $t$ 乘以定义在曲面上的平均曲率函数的分子 $H_{0}$ 构成。我们指出，平均曲率的平方关于曲面参数的积分成为该变分参数的多项式。如果该多项式存在零点，求出该零点最终将得到与极小化更复杂的面积泛函本身所获得的相同（极小）曲面。我们转而极小化了该多项式。此外，我们的极小化仅限于在我们的试探解所允许的所有曲面类中进行搜索。总而言之，我们尚未获得精确的极小曲面，但我们确实减少了相同固定边界下的面积。对于我们已知精确极小曲面的一个曲面（半椭球面），这种减少是显著的。但对于由四条直边界线张成的双线性插值（它可以建模重排弦的初始和最终构型），面积的减少仍不足原面积的 0.8%。这可能表明双线性插值已经是一个接近极小的曲面。