Huber (M)-估计量的方差崩溃：$n/p \rightarrow m \in (1,\infty)$

半个世纪前，Huber在标量位置估计中评估了极小极大渐近方差，$\min_\psi \max_{F \in {\cal F}_\epsilon} V(\psi, F) = \frac{1}{I(F_\epsilon^*)}$，其中$V(\psi,F)$表示具有计分函数$\psi$的位置$(M)$-估计量的渐近方差，$I(F_\epsilon^*)$是$\epsilon$-污染正态分布类上的最小Fisher信息$\min_{{\cal F}_\epsilon} I(F)$。我们考虑线性模型$Y = X\theta_0 + W$，$W_i\sim_{\text{i.i.d.}}F$，以及独立同分布的正态预测变量$X_{i,j}$，工作于观测数$n$与变量数$p$均趋于无穷的高维极限渐近下，且$n/p \rightarrow m \in (1,\infty)$；因此$m$扮演“每个被估计参数的渐近观测数”的角色。令$V_m(\psi,F)$表示在$n/p \rightarrow m$机制下回归的$(M)$-估计量的逐坐标渐近方差。则$V_m \neq V$；但$V_m \rightarrow V$当$m \rightarrow \infty$。本文中我们评估Huber $(M)$-估计的极小极大渐近方差。统计学家在所有Huber回归$(M)$-估计调谐族$(\psi_\lambda)_{\lambda > 0}$上最小化，而自然在粗差污染$F \in {\cal F}_\epsilon$上最大化。假设$I(F_\epsilon^*) \cdot m > 1$。则$\min_\lambda \max_{F \in {\cal F}_\epsilon} V_m(\psi_\lambda, F) = \frac{1}{I(F_\epsilon^*) - 1/m}$。引人注目地，若$I(F_\epsilon^*) \cdot m \leq 1$，则极小极大渐近方差为$+\infty$。崩溃点在于每参数Fisher信息等于1处。