数据流中的变异性

我们考虑在以较小相对误差跟踪由分布式更新流 $f'(n)$ 定义的整数函数 $f(n)$ 的问题。针对该问题且具有最坏情况保证的现有流算法均假设 $f(n)$ 是单调的；而对于总结分布式非单调流，其空间需求存在非常大的下界，通常与流的大小 $n$ 呈线性关系。导致大空间需求的输入流具有高度变异性，即在相邻时间步之间发生相对较大的跳跃。然而，实践中的流往往变化缓慢。迄今为止，缺乏一个针对非单调流的框架，该框架所允许的算法在最坏情况下的性能能与现有单调流算法相当，并且随着非单调流变化加快而平滑退化。本文提出了这样一个框架。我们引入了一个新的流参数“变异性”$v$，其定义方式表明它是考虑非单调流的一个自然参数。这也是一个有用的参数。从理论角度来看，我们可以调整现有的单调流算法以适用于非单调流，仅需 minor 修改，使得当流恰好为单调时算法退化为单调情形，并且能将最坏情况通信界限从 $\Theta(n)$ 优化至 $\tilde{O}(v)$。从实践角度来看，我们通过证明对于单调流 $v$ 为 $O(\log f(n))$，而对于“近乎”单调或由随机游走生成的流 $v$ 为 $o(n)$，展示了 $v$ 在实践中可以很小。我们预期对于许多其他有趣的输入类，$v$ 也将是 $o(n)$。